Bac 2015 : soyez brillant en maths avec les jolies courbes de Rosetta !

Rosetta, une mission exceptionnelle de l’Agence Spatiale Européenne et…
peut-être une source d’inspiration pour l’épreuve de mathématiques du baccalauréat 2015.

Lundi 22 mars : deuxième semaine pour les épreuves du baccalauréat. C’est la nouveauté 2015 : un week-end entre deux séries d’épreuves, pour les dernières révisions ou faire un break et participer à la fête de la musique…

Pour les séries S, la deuxième semaine commence avec l’épreuve  de mathématiques. Un gros coefficient… Malgré la pause du week-end, vous êtes peut-être au bout du rouleau et vous ne pouvez plus voir les maths en peinture…

Voici quelques trucs pour être brillant en maths.

Le sujet de mathématiques du bac 2015…

Pas de faux espoir : je ne le connais pas. Par contre, je ne pense pas dévoiler de secret en affirmant que la mission Rosetta  et les trajectoires des planètes et des sondes d’exploration devraient inspirer au moins un des exercices : depuis juillet 2014 et l’arrivée de la sonde Rosetta à proximité de la comète Churyumov-Gerasimenko 67P puis l’atterrissage mouvement de Philae, beaucoup d’articles consacrés aux sujets du bac possibles en maths anticipent que la médiatisation de la mission Rosetta et les aventures de Philae inspirera les enseignants en charge de la rédaction du sujet.

Trajectoires de planètes et des sondes spatiales : l’art de tourner en rond…

Lancée en mars 2014, la sonde Rosetta a mis un peu plus de 10 ans pour rejoindre la comète Churyumov-Gerasimenko 67P. Avec plusieurs manœuvres utilisant l’assistance gravitationnelle et le survol des astéroïdes Lutetia et Steins puis le largage de l’atterrisseur Philae, c’est un excellent exemple de mission d’exploration permettant d’aborder les orbites, les trajectoires et les manœuvres de changement d’orbite, les communications à grande distance, la puissance des panneaux solaires loi de notre étoile et enfin une chute libre avec force gravitationnelle faible.

Bref, l’idéal pour donner envie aux élèves de s’intéresser à des notions de mathématiques ou physique souvent jugées abstraites et rébarbatives :

• Coniques, orbites et lois de Kepler.
• Géométrie dans l’espace, périmètres et surfaces.
• Etude des fonctions et représentation graphique.
• Repères, changements de repères et système de coordonnées (rectangulaires polaires).
• Dérivation et intégration.
• Principe fondamental de la dynamique, action et réaction, conservation de la quantité de mouvement.

Vous n’êtes pas convaincu ? On commence... sans Rosetta, avec deux illustrations montrant les orbites de  la Terre, de Mars, de Jupiter et de la comète 67P. Les distances sont exprimées ici en unités astronomiques. Les deux figures représentent la trajectoire des planètes et de la comète. La seule différence : à gauche, les mouvements sont représentés dans un repère inertiel centré sur le soleil. A droite, c’est la planète Terre qui a été choisie comme origine du repère.

Mouvement des planètes et de la comète Churyumov-Gerasimenko.
A gauche, dans un repère centré sur le soleil.
A droite, dans un repère centré sur la Terre. Crédit image : Gédeon

Les jolies boucles à droite signifient qu'observé depuis la Terre le mouvement relatif des planète peut s'inverser et devenir rétrograde.

Les plus agés qui aimaient le jeu Spirographe peuvent constater qu'un tableur comme Excel procure un plaisir similaire ! On comprend également qu'il est plus simple de construire des lois physiques en renonçant à penser que la Terre est le centre de l'univers. C'est penser le contraire qui est rétrograde...

Pas de plans sur la comète : passe ton bac d’abord !

Ce long voyage à partir de la Terre jusqu’à la surface du noyau d’une comète a démarré le 2 mars 2004 avec le lancement par une fusée Ariane 5G, directement sur une trajectoire interplanétaire.

Néanmoins, la puissance de la fusée Ariane 5 ne permettait pas de « rattraper la comète » : Afin de pouvoir atteindre une vitesse suffisante pour rejoindre sa cible, Rosetta a eu recours à quatre assistances gravitationnelles (Terre, Mars, Terre, Terre) permettant de modifier sa trajectoire initiale sans dépenser trop d’ergols. La première manœuvre d’assistance gravitationnelle (« swing-by » en anglais) a eu lieu un an après le lancement, le 4 mars 2005.

Cette stratégie imposait une durée de croisière longue (10 ans) qui a été mise à profit pour survoler deux astéroïdes (Lutetia et Steins).

En s’éloignant du soleil, Rosetta s’éloignait aussi de sa source d’énergie. A partir d’une certaine distance (environ 4,5 unités astronomiques), la puissance fournie par les panneaux solaire est devenue trop faible pour assurer l’alimentation de tous les équipements : Rosetta a été mise en hibernation. Cette technique avait déjà été utilisée avec succès pour GIOTTO C’est aussi un moyen de réduire les coûts d’opération.

Une autre représentation permet de bien comprendre à quel moment les assistances gravitationnelles sont effectuées et quand Rosetta rendre en hibernation.

On se place dans un repère centré sur la sonde Rosetta et on trace l’évolution des distances du soleil, des planètes et de la comète au cours du temps.

Et voilà une autre série de jolies courbes :

Evolution des distances entre la sonde Rosetta et le soleil, la Terre, Mars et
la comète 67P au cours du temps.

Rosetta et Philae : des réveils tardifs et des rebondissements

Après le réveil et la sortie d’hibernation, la phase d’approche et d'observation de la comète, d'une durée d’environ 18 mois, a débuté pendant l’été 2014. Les instruments scientifiques de Rosetta sont utilisés simultanément ou séquentiellement. L'atterrisseur Philae a été largué le 12 novembre et vient de donner signe de vie.

L’Agence Spatiale Européenne a publié de nombreuses illustrations et des vidéos montrant les différentes phases de la mission de Rosetta.

En voici quelques exemples…

Les jolies courbes de Rosetta

Revenons à nos mathématiques : voici maintenant quelques courbes illustrant la trajectoire du Rosetta tout au long de sa mission.

J’ai utilisé plusieurs sources d’informations :

• Les documents et illustrations publiés par l’ESA, le CNES ou le DLR
• Le générateur d’éphémérides de l’IMCCE
• Le simulateur SPICE de la NASA
• Des informations qui m’ont été aimablement communiquées par Vincent Guillaud, ingénieur chez Airbus Defence and Space, et Philippe Gaudon, chef de projet Rosetta au CNES.

Exemples de courbes et de graphiques montrant la trajectoire de Rosetta pendant les différentes
phases de la mission.

La trajectoire de Rosetta et le largage de l'atterrisseur Philae. Crédit image: ESA

Avoir 20 en maths ou en physique ? Bien choisir le zéro…

Quelques conseils pour terminer. Rien de très original mais c’est toujours utile de rappeler des règles simples pour les maths et la physiques :

• Attention au choix du repère et des références.
• Les unités… Surtout vrai en physique : toujours travailler dans le système international ou dans des unités homogène. Dans les courbes illustrant cet article, j’ai beaucoup l’unité astronomique (UA ou AU en anglais) : elle correspond à la distance terre –soleil, soit environ 150 millions de kilomètres.
• Vérifier les ordres de grandeur de résultats obtenus.
• Un petit dessin aide souvent à comprendre un problème ou vérifier que la solution tient la route…

Et surtout : restez détendu, prenez le temps de bien lire l’énoncé de tous les exercices avant de commencer.  Ne stressez pas si l’énoncé d’un exercice ne vous inspire pas : un petit dessin au brouillon peut aider à comprendre la question. Ne cherchez pas à tout prix à trouver un lien avec l’exercice précédent : ils peuvent être indépendants…

Une curiosité : le profil de la mission initiale, avant l'accident Ariane 5. Destination : la comète Wirtanen. Les principales étapes sont comparables. Crédit image : ESA

En savoir plus :

• Les autres articles du blog Un autre regard sur la Terre sur la mission Rosetta.
• D’autres articles du blog Un autre regard sur la Terre pour faire un peu de maths et de physique avec les fusées, les satellites et les sondes spatiales.
• Les articles sur le calendrier 2015 pour découvrir quelques lois physiques très utilisées dans le spatiale, en particulier en observation de la Terre.